barisan dan deret dalam matematika

BAB I

BARISAN DAN DERET

Pernahkah kamu jalan-jalan melewati perumahan? Atau kamu s endiri tinggal di perumahan? Coba perhatikan penomoran rumahnya. Pemberian nomor pada rumah sering kita jumpai adanya nomor ganjil dan nomor genap. Tahukah kamu bilangan ganjil dan bilangan genap? Tuliskanlah. Pada bilangan ganjil dan bilangan genap terdapat pola bilangan. Coba kamu cari sesuatu yang membentuk pola bilangan. Tuliskan dalam buku latihanmu.

Dalam bab ini kita akan mempelajari tentang pola bilangan.

1. Pola Bilangan, Barisan dan Deret

a.       Pola bilangan

Perhatikan deretan bilangan-bilangan berikut:

a. 1 2 3 …

b. 4 9 16 …

c. 31 40 21 30 16 …

Deretan bilangan di atas mempunyai pola tertentu. Dapatkah anda menentukan bilangan yang belum diketahui sesuai dengan aturan yang

dipunyai?

Pada a, bilangan ke 4 adalah 4, sebab deretan bilangan nomor 1, mempunyai

aturan: bilangan ke 2 = 1 + 1 = 2,

      bilangan ke 3 = bilangan ke 2 + 1 = 2 + 1 = 3.

Jadi bilangan ke 4 = bilangan ke 3 + 1 = 3 + 1 = 4.

Pada b, bilangan ke 4 adalah 25, sebab deretan bilangan nomor 2,

mempunyai aturan: bilangan ke 1 = (1 + 1)2 = 2 2 = 4,

  bilangan ke 2 = (2 + 1)2 = 3 2 = 9,

  bilangan ke 3 = (3 + 1)2 = 4 2 = 16.

 Jadi bilangan ke 4 = (4 + 1)2 = 5 2 = 25.

Pada c, bilangan ke 6 adalah 25, sebab deretan bilangan nomor 3,

mempunyai aturan: bilangan ke 3 = bilangan pertama – 10 = 31 – 10 = 21,

bilangan ke 4 = bilangan ke 2 – 10 = 40 – 10 = 30, bilangan ke 5 = bilangan ke 3 – 5 = 21 – 5 = 16,.

Jadi bilangan ke 6 = bilangan ke 4 – 5 = 30 – 5 = 25.

Aturan yang dimiliki oleh deretan bilangan di atas disebut pola bilangan

pada deretan itu. Pola sebuah deretan bilangan tidak tunggal. Sebagai

contoh, pada deretan bilangan nomor 2, bilangan ke n = (n + 1)2 dengan n

= 1, 2, 3, 4.

Tidak semua pola bilangan dapat dirumuskan secara singkat dengan kata-kata yang langsung memperlihatkan pola yang dimaksud seperti kedua contoh tadi. Misalnya, sungguh sulit kita merumuskan pola bilangan-bilangan 5, 7, 11, 17, 25 secara singkat dengan kata-kata. Oleh karenanya pola bilangan dapat dirumuskan dengan cara-cara lain.

Misalnya:

Bilangan-bilangan 1, 3, 6, 10, … disebut bilangan-bilangan segitiga, karena setiap kali dapat digambarkan dengan bulatan-bulatan yang tersusun dalam pola segitiga.

Gambar 1.1 (buku Smk FC)

Selain itu pola bilangan dapat juga dirumuskan dengan kalimat matematika. Rumusan pola bilangan dengan kalimat matematika dapat ditentukan setelah sekian banyak bilangan berpola sama ditata secara urut.

Rumusan pola bilangan dengan kalimat matematika adalah rumusan yang menyatakan hubungan antara setiap bilangan dengan nomor urutnya.

b.      Barisan

Perhatikan bilangan-bilangan yang disusun secara urut berikut ini:

Bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7, 9, …

Bilangan segitiga: 1, 3, 6, 10, 15, …

Bilangan Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Bilangan ganjil, bilangan segitiga dan bilangan Fibonacci yang disusun secara urut merupakan barisan bilangan. Jadi, barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan-bilangan dengan pola yang sama dan tertata secara urut.

Disetiap nomor urut terdapat satu bilangan yang unik. Oleh karena itu, barisan bilangan sering pula disebut sebagai fungsi dengan daerah asal (domain) himpunan bilangan asli yang anggota-anggotanya menyatakan nomor urut suku.

      Setiap bilangan dalam sustu barisan bilangan disebut suku dan biasa dilambangkan dengan Un (n menyatakan nomor urut suku). Jadi,

c.       Deret

Diketahui barisan bilangan 1, 4, 7, 10, 13, … penjumlahan suku-suku barisan itu, yaitu 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + … disebut deret bilangan.

Bila U₁, U₂, U₃, U4, U5, … disebut barisan bilangan,

maka U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … disebut deret bilangan. Nilai deret bilangan hingga n buah suku pertama biasa dilambangkan dengan Sn.

1. Notasi penulisan deret

Perhatikan jumlahan bilangan-bilangan berikut.

1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.

2. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12.

3.

4. 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola

dapat dituliskan dengan notasi ” ”(dibaca: sigma).

Notasi Sigma dilambangkan dengan
Dibaca : jumlah bilangan dari mulai suku ke-i = m sampai ke-i = n
Untuk menuliskan jumlah bilangan asli dari suku pertama sampai suku ke-10 dapat ditulis :
 = 1 + 2 + 3 + … + 10
Jumlah bilangan ganjil dari suku ke-5 sampai ke-10 ditulis :
 = 9 + 11 + … + 19

Sifat-sifat Notasi Sigma
1.  = na

2.

= a1 + a2 + … + an

3. = a
4.

= 1 + 2 + 3 +… + n

5. =  
6. = +

1. Barisan dan Deret Aritmatika

1.      Barisan Aritmatika

Perhatikan barisan-barisan berikut:

1, 4, 7, 10, … dan

100, 90, 80, 70, …

Barisan pertama dan kedua merupakan barisan aritmatika. Pada setiap barisan bilangan di atas, beda dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan).

Suatu barisan U1, U2, U3, … Un, disebut barisan aritmatika jika untuk setiap nilai n bilangan asli berlaku:

U2 – U1 = U3 – U2 = … = Un – Un-1 = b, dengan b suatu tetapan yang tidak bergantung pada n.

Jadi, barisan aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang suku beriktnya diperoleh dengan menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan yang tetap kepada suku sebelumnya. Bilangan yang tetap itu disebut selisih atau beda. Apabila bedanya positif, maka barisan itu naik. Apabila bedanya negative, maka barisan itu turun.

2.      Menentukan Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika.

Jika suku pertama U1, kita misalkan a, beda kita misalkan b, dan suku ke-n kita misalkan Un maka barisan aritmatika ditulis sebagai berikut:

Gambar 1.2 (kelas Ix hal 171)

Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah

                                    Un = a + (n – 1)b

Sifat-sifat suku ke-n

Un = a + (n – 1) b = a + bn – b = bn + (a – b).

Jadi, suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah fungsi linier dari n, dengan n bilangan asli.

           

3.      Menentukan Jumlah n Suku dari Deret Aritmatika

Pada bahasan sebelumnya kamu sudah mempelajari barisan aritmatika. Jika suku-suku barisan aritmatika kita jumlahkan, maka deret tersebut disebut deret aritmatika.

Jika U1, U2, U3, … Un adalah suku-suku barisan aritmatika, maka U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … disebut deret aritmatika.

Jika jumlah n suku pertama deret aritmatika itu kita lambangkan dengan Sn, maka Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … Un.

Seorang matematikawan Karl Friedrech Gauss (1777 – 1855) ketika di sekolah dasar, gurunya meminta dia untuk menjumlahkan seratus bilangan asliyang pertama. Gauss memberikan jawaban dalam beberapa detik, dia menjawab sebagai berikut:

S100   = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100

S100   = 100 + 99 + … + 2 + 1

                                                                           +      

2S100 = 1001 + 101 + 101 + … + 101 + 101

2S100 = 100 + 101

Jadi, jumlah seratus bilangana asli yang pertama adalah 5050.

Kita dapat mencari rumus untuk jumlah n suku pertama (Sn), dari deret aritmatika, yaitu:

 Atau

S_n = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (U_n – 2b) + (U_n – b) + U_n.

Kemudian urutan suku-suku dijumlahkan dan dibalik sehingga:

S_n = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (U_n – 2b) + (U_n – b) + U_n.

S_n = U_n + (U_n – b) + (U_n – 2b) + … + (a + 2b) + (a + b) + (a + 2b) + a

                                                                                                                             +

2Sn = (a + U_n) + (a + U_n) + (a + U_n) + … + (a + U_n) + (a + U_n) + (a + U_n)

Gambar 1.3 hal 174

                        Penjumlahan n suku, tiap sukunya (a + U_n)

                                    2S_n = n (a + U_n)

                                      S_n =

Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah

  S_n = atau  S_n =

Catatan :

U_n = a + (n – 1)b

Sifat-sifat  S_n = =  =

Jadi, S_n merupakan fungsi kuadrat dari n dengan n bilangan asli.

Contoh 1.1

Tentukan jumlah 25 suku pertama deret 3 + 6 + 9 +….

Penyelesaian:

Deret 3 + 6 + 9 +…. adalah deret aritmatika dengan a = 3 dan b = 3. Oleh

karena itu dengan menggunakan rumus S_n =  

diperoleh  S₂₅   = [2(3) + (25 -1)(3)]

           = [6 + 24(3)]

            = (6 + 72)

= 25 (39)

= 975.

Jadi jumlah 25 suku pertama dari deret 3 + 6 + 9 +…. adalah 975.

Contoh 1.2

Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100.

Penyelesaian:

Diketahui a = 51, b = 2, dan Un = 99.

Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100, pertama-tama

kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100, yaitu n

dengan menggunakan rumus:

Un = a + (n – 1) b

99 = 51 + (n – 1)(2)

99 = 51 + 2n – 2

99 = 49 + 2n

2n = 99 – 49

n = 25.

Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika,

S_n =

diperoleh:

    S₂₅   = [2(51) + (25 -1)(2)]

= 25(51 + 24)

= 25(75)

= 1.875.

Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1.875.

Contoh 1.3

Ditentukan deret aritmatika 1 + 4 + 7 + 10 + …

Carilah :

a.       rumus suku ke-n,

b.      rumus jumlah n suku pertama, dan

c.       jumlah 20 suku pertama.

Penyelesaian:

a.       Diketahui a = 1, dan b = 3

U_n = a + (n – 1)b

     = 1 + (n – 1)3

     = 3n – 1

b.      Jumlah n suku pertama

  S_n =

             =

             =

      

c.       Jumlah 20 suku pertama

= 600 – 10 = 590

                       

                        Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah 590.

Contoh 1.4

Hitunglah jumlah deret aritmatika 3+ 8 + 13 + … + 98

Penyelesaian:

Diketahui n = 3, b = 5 dan U_n = 98

U_n = a + (n – 1)b

98 = 3 + (n – 1)5

98 =  5n – 2

5n – 2 = 98

5n = 100

n = 20

S₂₀ =

S_n =

     = 1010

Jadi, S_n adalah 1010

Latihan mandiri 1.1

1.      Carilah jumlah 60 suku pertama pada tiap deret berikut!

a.       1 + 3 + 5 + 7 + …

b.      80 + 70 + 60 + …

c.       -4 – 5 – 6 -7 …

d.      3,5 + 3,7 + 3,9 + …

e.       3 + 8 + 13 + …

2.      Carilah jumlah untuk tiap deret berikut

a.       2 + 4 + 6 + … + 100.

b.      1 + 3 + 5 + … + 21.

c.       15 + 12 + 9 + … – 36.

d.      29 + 33 + 37 + … + 109.

e.       45 +

3.      Carilah n jika

a.       1 + 2 + 3 + … + n = 120.

b.      3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = 960.

c.       3 + 6 + 9 + … + n = 165.

4.      Berapakah banyaknya bilangfan yang menyusun deret 5 + 7 + 9 + … yang jumlahnya 192.

5.      hitunglah jumlah semua bilangan asli

a.       antara 20 dan 100 yang habis dibagi 3.

b.      Antara 52 dan 150 yang habis dibagi 5.

6.      Jumlah 9 suku pertama sama dengan 225 dan suku yang ke-7 adalah 38. Carilah suku pertama, kedua, dan suku terakhir.

7.      jumlah suku pertama dengan suku ke-13 dari deret aritmatika adalah 44. jumlah suku ke 7 dengan suku ke-10 adalah 50.

a.       Carilah suku pertama, beda, dan suku terakhir.

b.      Jumlah 25 suku pertama.

1. Barisan dan Deret geometri

1.      Pengertian barisan geomatri

Perhatikan contoh barisan geometri berikut

a.       2, 4, 8, 16, … rasionalnya

b.      2, -6, 18, -54, … rasionalnya

c.       320, 80, 20, 5, … rasionalnya

Barisan tersebut merupakan barisan geometri. Pada setiap barisan bilangan di atas, pembanding dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan).

Suatu barisan U1, U2, U3, … Un, disebut barisan geometri jika untuk setiap nilai n bilangan asli berlaku:

dengan r suatu tetapan yang tidak bergantung pada n.

Jadi, barisan geometri adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan atau membagi dengan suatu bilangan tetap. Bilangan tetap itu disebut pembanding atau rasio yang dilambangkan dengan huruf r.

Jika  > 1, artinya r < -1 atau r > 1, maka suku-suku barisan geometri itu semakin besar. Barisan tersebut dinamakan barisan geometri naik (contoh a dan b). Jika  < 1, artinya -1 < r < 1, maka suku-suku barisan geometri itu semakin kecil. Barisan tersebut dinamakan barisan geometri turun (contoh c dan d).

2.      Menentukan Rumus Suku ke-n Barisan Geometri

Jika suku pertama U₁, dinyatakan dengan a dan perbandingan dua suku berurutan adalah rasio yang dinyatakan dengan r dan suku ke-n dinyatakan dengan U_n, maka kita dapat merumuskanya dengan:

Dari bentuk di atas, kita peroleh suatu barisan geometri, pada umumnya sebagai berikut,

Gambar 1.4 hal 177

Dari keterangan di atas, dapat kita simpulkan rumus ke-n dari barisan geometri adalah U_n = ar^n-1

Sifat-sifat suku-suku ke-n barisan geometri U_n = ar^n-1 adalah fungsi eksponen dari n.

3.      Deret Geometri

Jika a, ar, ar², ar³, … ar^n-1 adalah barisan geometri, maka

a + ar + ar² + ar³ +  … ar^n-1 disebut deret geometri.

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri.

Kalau jumlah n suku pertama deret geometri kita lambangkan dengan S_n, maka dapat ditulis:

S_n = a + ar + ar² + ar³ +  … ar^n-1

Kita kalikan persamaan di atas dengan r, diperoleh

r S_n = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + … ar^n-1 + arⁿ

kita kurangkan

S_n = a + ar + ar² + ar³ +  … ar^n-1

r S_n = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + … ar^n-1 + arⁿ

                                                                                      -

S_n – r S_n = a – arⁿ

(1 – r)S_n = a(1 – rⁿ)

             

Dengan demikian, jumlah n suku pertama deret geometri dapat ditentukan dengan rumus:

                   rumus untuk barisan turun atau  < 1,

dan             rumus untuk barisan naik atau  > 1.

Contoh 1.5

Apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan geometri. Jika merupakan

barisan geometri, tentukan rasionya.

a. 2, 4, 8, 16, ….

b. 3, 5, 7, 9,…….

Penyelesaian:

a. 2, 4, 8, 16, …. adalah barisan geometri dengan rasio 2, sebab

b. 3, 5, 7, 9,…. bukan deret geometri, sebab

.           Contoh 1.6

Carilah jumlah tujuh suku pertama pada deret geometri 4 + 12 + 36 + 108 + …

Penyelesaian:

4 + 12 + 36 + 108 + …

,           S₇ = 4372

Jadi, jumlah 7 suku pertama deret geometri adalah 4372.

Contoh 1.7

Carilah jumlah dari deret geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374

Penyelesaian:

Barisan geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374

a = 2 dan r = 3

U_n = ar^n-1

2 . 3^n-1 = 4374

3^n-1 =

3^n-1 = 2187

3^n-1 = 3⁷

n – 1 = 7

n = 8

             S₈

                 = 

     = 6560

Jadi, jumlah 8 suku pertama deret geometri adalah 6560.

Latihan mandiri 1.2

1. Carilah jumlah 8 suku pertama padas setiap deret geometri berikut!
   1. 1 + 2 + 4 + …
   2. 5 + 15 + 45 + …
   3. 
      
   4. 
      
   5. 2 – 6 +18 – …
   6. 
      
   7. 80 + 40 + 20 + …
   8. 
      
2. Carilah jumlah tiap deret geometri berikut!

1.  
   1. 6 + 12 + 24 + … + 384
   2. 4 + 2 + 1 + … +
   3. 1 –  +  - … +
2. Carilah n jika:
   1. 2 + 4 + 8 + … + 2ⁿ = 510
   2.  +  +  … +
3. Satuan barisan geometri diketahui U₂ = 6 dan U₆ = 486, carilah rasio, suku pertama dan jumlah 8 suku pertama
4. Suatu barisan geometri diketahui r = 2, n = 8, dan S_n = 1275, carilah nila a.
5. Suatu barisan geometri diketahui a = 5, r = 3, dan S_n = 200. carilah n.

1. Deret Geometri Tak Hingga

Pada deret geometri, untuk n ~ maka deret tersebut dikatakan deret geometri tak berhingga. Jadi,

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

U₁ + U₂ + U₃ + … U_n ,  atau jika ditulis dengan notasi adalah
= a + ar + ar² ………………
n=1
dimana n à ~ dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ à 0

Deret tersebut akan konvergen (mempunyai jumlah) jika  -1 < r < 1, dan mempunyai jumlah :
  dengan -1 < r < 1

Bila r tidak terletak pada -1 < r < 1, maka deret tersebut akan divergen (tidak mempunyai jumlah)

      Contoh 1.8

            Tentukan jumlah deret geometri berikut.

4 + 2 + 1 +

Penyelesaian:

Deret: 4 + 2 + 1 +  adalah deret geometri dengan a = 4 dan r =  < 1. J     umlah deret geometri itu adalah

  =

1. Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah

Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk barisan bilangan, lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri. Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai.

Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri.

Deret aritmatika

Un = a + (n – 1)b

  S_n =

Deret Geometri

U_n = ar^n-1

 untuk  < 1 dan  untuk  > 1.

Contoh 1.9

Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya. Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi. Tentikanlah:

1.  
   1. banyaknya kursi pada baris ke-10.
   2. banyaknya kursi dalam gedung itu.

Penyelesain:

a.       barisanya adalah 30, 34, 38, 42, … adalah barisan aritmatika

U₁₀ = a + (n – 1)b

                = 30 + (10 – 1)4 = 30 + 36 + = 66

Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi.

        

b.      Kita gunakan rumus deret aritmatika

S₁₀ =

                       =

                  Jadi, banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi.

     

Contoh1.10

Mulai tahun 2000, Pak Arman mempunyai kebun tebu. Penghasilan kebun

tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahun

2001, Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang. Pak

Arman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kebun tebunya

naik Rp 500.000,-. Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada

akhir tahun 2005?

Penyelesaian:

Misalkan:

a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000.

b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir

tahun.

P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005.

Jadi a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000,-, dan P2005 akan dicari.

Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap

akhir tahun adalah tetap, maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak

Arman pada akhir tahun 2005, kita dapat menerapkan rumus unsur ke n dari

barisan aritmatika dengan

U1 = a = a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000.

P2005 = U6 = a + 5b

     = 6.000.000 + 5(500.000)

           = 6.000.000 + 2.500.000

           = 8.500.000.

Jadi perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005

adalah Rp 8.500.000,-

Latihan mandiri 1.3

1. pak Imam mempunyai sebidang tanah yang ditanami pohon mangga, karena bentuk tanahnya miring, maka pad baris pertama ditanami 75 pohon mangga, paris kedua 70 pohon, baris ketiga 65 pohon dan seterusnya berkurang lima pohon dari baris sebelumnya. Jika pada baris terakhir yang ditanam lima pohon mangga, hitunglah:
   1. banyaknya baris yang ditanami pohon mangga.
   2. Jumlah pohon mangga yang ditanami sebelumnya.
2. Suatu tali dibagi menjadi enam bagian dengan panjang yang membentuk suatu barisan geometri. Jika yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling panjang 96 cm, maka tentukan panjang tali semula!
3. Pada tahun pertama seorang karyawan mendapat gaji pokok Rp300.000,00

sebulan. Jika setiap tahun gaji pokoknya dinaikkan sebesar Rp25.000,00

maka jumlah gaji pokok karyawan tersebut selama 10 tahun pertama adalah ….

1. Pak Marasabesi mempunyai uang simpanan uang di bank sebesar Rp. 750 juta, ia mmengambil simpanan di bank dengan menggunakan cek setiap bulanya, pengambilan pertama Rp. 10 juta, kemudian Rp. 15 juta, dan seterusnya setiap pengambilan Rp. 5 juta lebih banyak dari sebelumnya. Dalam berapa bulan uang pak Marasabehi dapat terambil seluruhnya?(biaya administrasi tidak ada)
2. pak Anton membeli mobil baru seharga Rp. 165 juta. Ia memperkirakan harga jual mobil akan turun sebesar 15% dari harga beli untuk setiap tahunya. Tentukan harga jual mobil pak Anton jika ia menjual mobil tersebut setelah 6 tahun?
3. pada tahun 2000 ningsih diterima bekerja di sebuah perusahaanswasta dengan gaji Rp. 2.500.000,00 per bulan. Perusahaan itu memberikan bonus akhir tahun pada karyawanya sebesar 15% gaji untuk tahun pertama. Akhir tahun kedua menerima gaji dua kali lipat bonus tahun pertama dan seterusnya.
   1. berapakah bonus yang diterima Ningsih akhir tahun 2004?
   2. Berapa banyak bonus yang akan diterima Ningsih selama 10 tahun?
4. pada perayaan kemerdekaan RI bulan Agustus yang lalu di perumahan CITRA diadakan lomba panjat pinang dengan ketinggian 6 meter. Seorang peserta memulai memanjat dari bawah. Setiap satu meter ia memanjat memerlukan waktu 6 menit dan ia merosot ½ meter juga dalam 6 menit, demikian seterusnya. Hitunglah waktu yang dibutuhkan peserta itu untuk mencapai ketinggian 6 meter.
5. seorang karyawan teladan mendapat gaji seperti pada table di bawah ini.

Bulan ke-	Gaji (Rp)
1	400.000
2	500.000
3	600.000
4	700.000

a.       berapa gajinya pada bulan desember?

b.      Berapa total gaji yang diterimanya selama satu tahun?

RANGKUMAN

• Barisan U1, U2, U3, …, Un, …. disebut barisan aritmatika jika Un – Un-1 = konstan.
• Un disebut unsur ke n barisan itu, dan konstanta tersebut disebut beda, yang dinotasikan dengan b.
• Jika U1, U2, U3, …, Un, …. merupakan barisan aritmatka dengan beda b

dan unsur pertama U1 = a, maka rumus unsur ke n dari barisan itu adalah

Un = a + (n – 1)b

• Jika U1, U2, U3, …, Un, …. merupakan barisan aritmatka, maka

U1 + U2 + U3 + … + Un, ….

disebut deret aritmatika. Un disebut suku ke n dari deret itu.

• Jumlah n suku deret aritmatika dengan beda b dan unsur pertama U1 = a

adalah

Sn = n[2a + (n -1)b].

Ø      Barisan U1, U2, U3,…, Un,… disebut barisan geometri jika  konstan,

dengan n = 2, 2, 3,….

Ø      Konstanta pada barisan geometri di atas disebut rasio dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan r.

Ø      Rumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,…, Un,…. dengan U1 = a dan rasio r adalah Un = ar^n-1

Ø      Jika U1, U2, U3, …, Un,…. merupakan barisan geometri dengan unsure pertama adalah a = U1 dan rasio r, maka U1 + U2 + U3 + … + Un  disebut deret geometri dengan Un = ar^n-1

Ø      Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah  untuk  < 1 dan  untuk  > 1.

Ø      Jumlah tak hingga suatu deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah   dengan -1 < r < 1

Bila r tidak terletak pada -1 < r < 1, maka deret tersebut akan divergen (tidak mempunyai jumlah)

UJI KOMPETENSI

I.       Pilihlah satu jawaban yang paling tepat, dan kerjakan di buku latihanmu!

1. Tentukan bilangan yang belum diketahui sesuai dengan pola yang dimiliki pada deretan bilangan 1, 1, 2, 3, 5, 8, ….

a.       13

b.      11

c.       15

d.      12

e.       16

1. tentukan lima unsure pertama pada barisan jika U_n = 5n + 3

a.       9 14 19 24 29

b.      8 13 18 23 29

c.       8 13 18 23 28

d.      9 14 19 24 28

e.       8 13 19 24 28

1. Tuliskan deret yang dibentuk oleh barisan dengan unsur ke n nya

Adalah

a.      

b.     

c.      

d.     

e.      

1. Tentukan unsur ke n dari barisan 2, 5, 8, 15, 24, ….

a.      

b.     

c.      

d.     

e.      

1. Tentukan nilai dari

a.       27

b.      28

c.       29

d.      30

1. Suku ke 5 suatu deret aritmatika adalah 22, jumlah suku ke 7 dengan suku ke 2 adalah 39. Tentukan jumlah 5 suku pertamanya!

a.       55

b.      60

c.       65

d.      70

e.       75

1. Hitunglah 30 + 25 + 20 + … + (-40)

a.       125

b.      148

c.       155

d.      150

e.       215

1. Carilah rasio dari barisan berikut ini

7, 0.7, 0.07, …

a.       0.1

b.      0.001

c.       1

d.      0.01

e.       10

1. Tentukan nilai n jika

a.       5

b.      6

c.       8

d.      9

e.       7

1. Hitunglah 1 + 2 + 4 + … + 32

a.       49

b.      81

c.       64

d.      100

e.       121

II.    Jawablah pertanyaan berikut dengan benar!

1.      Tentukan suku pertama dan beda dari barisan aritmatika yang mempunyai:

a.       U6 = 5; U12 = -13.

b.      9. U13 = 8; U17 = 48.

c.       10. U7 = 14; U10 = 20.

2.      Diketahui jumlah tak hingga dari deret geometri adalah 8, sedangkan

jumlah dari suku-suku genapnya sama dengan 2. Tentukan suku pertama dan rasio dari deret tersebut.

3.      Tentukan jumlah sepuluh suku pertama dari deret:

a.       100 + 95 + 90 + …

b.      8. –3 – 6 – 12 – 24 – …

4.      sebuah bola menggelinding dari puncak sebuah bukit, makin lama makin cepat. Menurut catatan, bola tersebut menggelinding seperti pada table berikut.

Detik ke-	Jauh Bola (m)
1	1
2	3
3	5
4	7

a.       Berapa jauh bola menggelinding pada detik ke sepuluh?

b.      Setelah 20 detik, berapa jarak bola dari titik awal?

5.      Dalam suatu penyelidikan diketahui bahwa sebuah sel bakteri khusus berkembang biak 2 kali lipat tiap menit. Jika semuala ada 100 sel untuk penyelidikan, maka jumlah ssel bakteri setelah 4 menit adalah…

Read More

soal osn matematika tk provinsi 2012

Read More

soal dan kunci jawaban osn matematika 2012 tk kab\kota

SOAL OSN MATEMATIKA SMP

TINGKAT KAB/KOTA TAHUN 2012

soal OSN ini saya peroleh pada saat saya ikut OSN tk kota
kutipan ini saya tulis  menurut pendapat saya, semoga dapat dijadikan sebagai pembanding untuk peserta OSN yang telah mengikuti beberapa hari yang lalu.

Bagian A : Pilihan Ganda

1.  
2. B   5/18
3. A   p < 0
4. B   -4
5. C   56
6. E    di bawah huruf U
7. E   3
8. B   80/13
9. B   30
10. B  17
11. D  3/32
12. C   503
13. A   25
14. E   128/625
15. A   2013
16. A   1/59
17. A   1/8
18. D    250
19. B    60
20. C    120⁰

Bagian B : Isian Singkat

1. Jumlah sisa-sisa pembagian 2012 bilangan bulat positif berurutan oleh 5 adalah 4023.
2. Nilai  c = 1  .
3. Panjang  AD = 3 √5
4. Semua nilai x yang memenuhi persamaan  adalah  x = 1 atau  x = 3
5. Bilangan ganjil positif terkecil adalah 1013
6. Panjang kereta api barang = 250 m
7. Banyaknya himpunan bagian yang memuat sedikitnya satu huruf vokal adalah 48.
8. Luas maksimum yang mungkin untuk persegipanjang adalah  1/2 satuan luas.
9. Jarak dari titik  T dengan bidang PQHE  adalah  3/5 x  √5 .
10. Bilangan  ab adalah  27 .

Dari mana  perolehan jawaban tersebut, sambil menunggu pembahasan lengkap versi penulis silahkan coba kerjakan dulu, sekaligus sebagai latihan jika masuk tingkat provinsi. Mohon koreksi jika ada kekeliruan atau salah ketik!!

Read More

kesebgunan dan kongrureran

Kamu telah mempelajari perbandingan di Kelas VII.
Pe r b a n d i n g a n  me r  u p a k a n   s i f a t   d a s a r   d a l am  k o n s e p
kesebangunan dan kekongruenan.
Kesebangunan sangat penting peranannya dalam
kehidupan sehari-hari seperti uraian berikut.
Lima orang anak ingin mengukur lebar sungai. Oleh
karena secara langsung tidak memungkinkan, kegiatan
pengukuran dilakukan secara tidak langsung. Mereka berhasil
menandai tempat-tempat A, B, C, D, dan E seperti tampak
pada gambar berikut.
Setelah dilakukan peng ukuran,
diperoleh AB = 4 m, BC = 3 m, dan
DE = BF = 12 m. Berapa meter lebar
sungai itu? Untuk menjawabnya,
pelajarilah bab ini dengan baik.
A. Bangun-Bangun
yang Sebangun
dan Kongruen
B. Segitiga-Segitiga
yang Sebangun
C. Dua Segitiga yang
Kongruen
Pada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami kesebangunan
bangun datar dan penggunaannya dalam pemecahan masalah
dengan cara mengidentifikasi bangun-bangun datar yang sebangun
dan kongruen, mengidentifikasi sifat-sifat dua segitiga sebangun
dan kongruen, serta menggunakan konsep kesebangunan segitiga
dalam pemecahan masalah.
D A
E F
B
C2 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
Diagram Alur
Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di buku
latihanmu.
Tes Apersepsi Awal
1. Suatu peta digambar dengan skala
 1 : 500.000. Berapakah jarak pada
peta jika jarak sesungguh nya 25 km?
2. Jika harga 6 buah penggaris adalah
Rp2.700,00, berapakah harga 9 buah
penggaris ter sebut?
3. Sebutkan dan gambarkan jenis-jenis
segi tiga ditinjau dari:
  a. panjang sisinya;
  b. besar sudutnya.
4. Perhatikan gambar segitiga berikut ini.
 Tentukan nilai  .
5. Perhatikan gambar berikut ini.
  a. Tentukan besar  DEC
  b. Tentukan besar  BEC.
  c. Tentukan sudut yang
  saling bertolak belakang.
Kesebangunan dan Kekongruenan
Sebangun
Segitiga yang
Sebangun
Kongruen
Panjang sisi yang
bersesuaian memiliki
perbandingan
senilai.
Sisi-sisi yang
bersesuaian
sama panjang
(s.s.s)
Menentukan garis dan besar
sudut dari bangun geometri.
Menentukan
perbandingan
ruas garis
pada segitiga.
Dua sudut yang
bersesuaian
sama besar
dan sisi yang
berada di
antaranya
sama panjang
(sd.s.sd).
Dua sudut yang
bersesuaian
sama besar
dan sisi yang
berada di
hadapannya
sama panjang
(sd.sd.s).
Sudut yang
bersesuaian
sama besar.
Bentuk dan ukurannya
sama besar.
perbedaan
syarat syarat
aplikasi
aplikasi
aplikasi
sifat
Dua sisi yang
bersesuaian
sama panjang
dan sudut yang
diapitnya sama
besar (s.sd.s).
38° 75°
A
110°
C
B
D
EKesebangunan dan Kekongruenan 3
A. Bangun-Bangun yang Sebangun
dan Kongruen
1. Foto Berskala
Contoh kesebangunan yang sering kamu jumpai dalam
kehidupan sehari-hari adalah foto berskala, seperti terlihat
pada Gambar 1.1.
Gambar 1.1(a) memperlihatkan sebuah film negatif
ABCD berukuran panjang 36 mm dan lebar 24 mm. Setelah
dicetak, film negatif tersebut menjadi foto  A' B' C' D'
berukuran panjang 180 mm dan lebar 120 mm.
Pada dasarnya, pengertian skala pada foto sama dengan
skala pada peta. Hanya saja, perbandingan antara ukuran
pada foto dan ukuran sebenarnya tidak sebesar perbandingan
antara ukuran pada peta dan ukuran sebenarnya. Satu
sentimeter pada peta mewakili beberapa kilometer pada
ukuran sebenarnya, sedangkan satu sentimeter pada foto
biasanya mewakili beberapa sentimeter atau beberapa meter
saja dari ukuran sebenarnya.
Skala pada peta ialah perbandingan antara ukuran pada
peta dan ukuran sebenarnya.
Contoh 1.1
Amati gambar dari foto sebuah mobil seperti dalam Gambar
1.2. Jika panjang mobil sebenarnya 3,5 m, berapa tinggi mobil
sebenarnya?
Penyelesaian:
Untuk menentukan tinggi mobil sebenarnya, langkah pertama
yang harus kamu lakukan adalah menentukan skala foto
tersebut.
Perbandingan antara panjang dalam foto dan panjang sebenarnya adalah 7 cm : 3,5 m
 7 cm : 350 cm
 1 cm : 50 cm.
Jadi, skala dari foto tersebut adalah 1 : 50. Oleh karena tinggi
mobil dalam foto 2,5 cm maka tinggi mobil sebenarnya adalah
2,5 cm  50 = 125 cm.
Jadi, tinggi mobil sebenarnya adalah 1,25 m.
D' C'
A' 180 mm
120 mm
B'
D C
36 mm
24 mm
A B
2,5 cm
7 cm
a
b
 Gambar 1.1
 Gambar 1.2
Siapa
Berani?
1. Seorang anak yang
tingginya 1,5 m difoto.
Jika skala foto tersebut
adalah 1 : 20, berapa
sentimeter tinggi anak
dalam foto?
2. Lebar sebuah rumah
dalam foto adalah
 5 cm. Jika skala foto
tersebut 1 : 160,
berapa meter lebar
rumah sebenarnya?
Sumber: Dokumentasi Penerbit
Sumber: i160.photobucket.com
Sumber: www.tuningnews.net4 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
2. Pengertian Kesebangunan
Pada Gambar 1.3 diperlihatkan tiga bangun persegi panjang
yang masing-masing berukuran 36 mm  24 mm, 180 mm
 120 mm, dan 58 mm  38 mm.
D
A
C
B
24 mm
36 mm
C‘
B‘
D‘
A‘
180 mm
120 mm
S
P
R
Q
38 mm
58 mm
Perbandingan antara panjang persegipanjang ABCD dan
panjang persegipanjang A'B'C'D' adalah 36 : 180 atau 1 : 5.
Demikian pula dengan lebarnya, perbandingannya  24 : 120
atau 1 : 5. Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua
persegipanjang itu memiliki perbandingan senilai (sebanding).
Perbandingan sisi yang bersesuaian dari kedua persegipanjang tersebut, yaitu sebagai berikut.
AB
A B
BC
B C
DC
D C
AD
' 'B ' ' C ' ' C A D' 'D

1
5
Oleh karena semua sudut persegipanjang besarnya
90° (siku-siku) maka sudut-sudut yang bersesuaian dari
kedua persegipanjang itu besarnya sama. Dalam hal ini,
persegipanjang ABCD dan persegipanjang  A'B'C'D'  memiliki
sisi-sisi bersesuaian yang sebanding dan sudut-sudut bersesuaian
yang sama besar. Selanjutnya, kedua persegipanjang tersebut
dikatakan sebangun. Jadi, persegipanjang ABCD sebangun
dengan persegipanjang A'B'C'D'.
Selanjutnya lakukan Tugas untukmu di samping.
Sekarang amati Gambar 1.4.
E
G
F
X
Z
Y
M
L
K
a b c
Ukurlah panjang sisi dan besar sudut-sudut  EFG dan
XYZ. Jika kamu melakukan pengukuran dengan benar,
akan diperoleh hubungan berikut.
(i)
EF
XY
FG
YZ
EG
XZ
;
(ii)  E =  X,  F =  Y, dan  G =  Z.
Tugas
untukmu
Amatilah persegipanjang
ABCD dan persegipanjang
PQRS pada Gambar 1.3.
Coba kamu selidiki
bersama kelompok
belajarmu, apakah
persegipanjang ABCD
sebangun dengan
persegipanjang PQRS?
Presentasikan hasil
penyelidikanmu di depan
kelas bergantian dengan
kelompok lain.
Gambar 1.4
Gambar 1.3 Kesebangunan dan Kekongruenan 5
D C
A 4 cm B
S
P R
Q
4 cm
Tugas
untukmu
Amatilah ∆EFG dan
∆KLM pada Gambar
1.4. Coba kamu selidiki
bersama kelompok
belajarmu, apakah ∆EFG
sebangun dengan ∆KLM?
Presentasikan hasil
penyelidikanmu di depan
kelas bergantian dengan
kelompok lain.
Oleh karena sisi-sisi yang bersesuaian sebanding dan
sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka  EFG
sebangun dengan  XYZ.
Pengertian kesebangunan seperti ini berlaku umum
untuk setiap bangun datar.
Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi
dua syarat berikut.
1) Panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun
itu memiliki perbandingan senilai.
2) Sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun itu
sama besar.
Contoh 1.2
Amati Gambar 1.5.
a. Selidikilah apakah persegi ABCD sebangun dengan persegi
EFGH?
b. Selidikilah apakah persegi ABCD dan belahketupat  PQRS
sebangun?
c. Selidikilah apakah persegi  EFGH sebangun dengan
belahketupat PQRS?
 Jelaskan hasil penyelidikanmu.
Penyelesaian:
a. Amati persegi ABCD dan persegi EFGH.
(i) Perbandingan panjang sisi-sisinya adalah
AB
EF
BC
FG
DC
HG
AD
EH

4
5
 Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi ABCD dan
persegi EFGH sebanding.
(ii) Bangun ABCD dan EFGH keduanya persegi sehingga
besar setiap sudutnya 90°. Dengan demikian, sudutsudut yang bersesuaian sama besar.
 Berdasarkan (i) dan (ii), persegi  ABCD dan persegi  EFGH
sebangun.
b. Amati persegi ABCD dan belahketupat PQRS.
(i) Perbandingan panjang sisi-sisinya adalah
AB
PQ
BC
QR
DC
SR
AD
PS

4
4
 Jadi, panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi
ABCD dan belahketupat PQRS sebanding.
(ii) Besar sudut-sudut yang bersesuaian adalah sebagai
berikut.
A ≠  P,  B ≠  Q,  C ≠  R, dan  D ≠  S.
H G
E F
5 cm
 Gambar 1.5
Catatan
Salah satu syarat
kesebangunan adalah
sudut-sudut yang
bersesuaian sama besar.
Maksud dari kata sama
besar adalah ukuran
sudutnya sebanding,
sehingga pada Gambar
1.5 dapat dituliskan:
A =  E,  B =  F,
C =  G =  D =  H.6 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
P
R
S Q
L
K
N
M
80°
125°
 Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian tidak sama besar.
 Berdasarkan (i) dan (ii), persegi  ABCD dan belahketupat
PQRS tidak sebangun.
c. Telah diketahui bahwa persegi  ABCD sebangun dengan
persegi EFGH, sedangkan persegi  ABCD tidak sebangun
dengan belahketupat  PQRS. Dengan demikian, persegi
EFGH tidak sebangun dengan belahketupat PQRS.
Contoh 1.3
1. Amati Gambar 1.6.
 Jika persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang
PQRS, hitung panjang QR.
Penyelesaian:
 Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah
sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Oleh karena itu,
AB
PQ
BC
QR QR

2
6
5
 2QR = 30  QR = 15
 Jadi, panjang QR adalah 15 cm.
2. Jika layang-layang KLMN dan layang-layang PQRS pada
 Gambar 1.7 sebangun, tentukan besar  R dan  S.
Penyelesaian:
 Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah
sudut-sudut  yang bersesuaian sama besar sehingga  P  =
125° dan  Q = 80°.
t "NBUJ MBZBOH MBZBOH PQRS.
 Menurut sifat layang-layang, sepasang sudut yang berhadapan sama besar sehingga  R =  P = 125°.
t 0MFI LBSFOB TVEVU TVEVU EBMBN MBZBOH MBZBOH CFSKVNMBI
360° maka
P +  Q +  R +  S = 360°
 125° + 80° + 125° +  S = 360°
S = 360° – 330° = 30°
3. Pengertian Kekongruenan
Pernahkah kamu melihat seorang tukang bangunan yang
sedang memasang ubin? Sebelum ubin-ubin itu dipasang,
biasanya tukang tersebut memasang benang-benang sebagai
tanda agar pemasangan ubin tersebut terlihat rapi, seperti
tampak pada Gambar 1.8(a).
Cara pemasangan ubin tersebut dapat diterangkan secara
geometri seperti berikut.
Gambar 1.7
Gambar 1.6
Gambar 1.8
A
D
B
C
E
F
a
b
A
2 cm
5 cm
B
D C
S
6 cm
P
R QKesebangunan dan Kekongruenan 7
Gambar 1.8(b) adalah gambar permukaan lantai yang
akan dipasang ubin persegipanjang. Pada permukaannya diberi
garis-garis sejajar. Jika ubin ABCD digeser searah AB (tanpa
dibalik), diperoleh A ¾B, B  E, D  C, dan  C ¾F sehingga
ubin ABCD akan menempati ubin BEFC. Akibatnya,
AB  BE sehingga AB = BE
BC  EF sehingga BC = EF
DC  CF sehingga DC = CF
AD  BC sehingga AD = BC
DAB  CBE sehingga  DAB =  CBE
ABC  BEF sehingga  ABC =  BEF
BCD  EFC sehingga  BCD =  EFC
ADC  BCF sehingga  ADC =  BCF
Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh
a. sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang  ABCD
dan persegipanjang BEFC sama panjang, dan
b. sudut-sudut yang bersesuaian dari persegipanjang
ABCD dan persegipanjang BEFC sama besar.
Hal tersebut menunjukkan bahwa persegipanjang ABCD
dan persegipanjang  BEFC memiliki  bentuk dan ukuran
yang sama. Dua persegipanjang yang demikian dikatakan
kongruen.
Sekarang amati Gambar 1.9. Ukurlah panjang sisi
dan besar sudut-sudut segienam  ABCDEF dan segienam
PQRSTU. Jika kamu melakukan pengukuran dengan benar,
diperoleh hubungan
(i)  AB = BC = CD = DE = EF = FA = PQ = QR = RS = ST
= TU = UP
(ii)  A =  B =  C =  D =  E =  F =  P =  Q =  R
=  S =  T =  U.
Oleh karena itu, segienam ABCDEF kongruen dengan
segienam PQRSTU.
Sekarang, ukurlah panjang sisi dan besar sudut-sudut
segienam GHIJKL. Kemudian, bandingkan dengan unsurunsur segienam ABCDEF. Dari hasil pengukuran tersebut,
diperoleh hubungan
(i)  A =  B =  C =  D =  E =  F =  G =  H =  I =
J =  K =  L
(ii)  AB ≠ GH, BC ≠ HI, CD ≠ IJ, DE ≠ JK, EF ≠ KL, FA ≠
LG.
A B
C
E D
F
P Q
T S
U R
G H
I
K J
L
 Gambar 1.9
Siapa
Berani?
Berikut ini adalah sketsa
tambak udang milik Pak
Budi
100 m
200 m
100 m
45°
Pak Budi akan membagi
tambaknya menjadi 4
bagian yang sama dan
berbentuk trapesium
juga, seperti bentuk
asalnya. Gambarlah
olehmu tambak udang
yang telah dibagi empat
tersebut.

Read More

not lagu buka hatimu

Read More

14 peserta osn asal lhokseumawe ikut osn tingkat provinsi

hari jum'at peserta asal lhokseumawe berangkat ke hotel lading banda aceh untuk mengikuti olimpiade sains nasional tingkat provinsi olimpiade yg dilom bakan ada 4 yaitu:
matematika,fisika,biologi&ips

salah satu peserta osn yaitu m alfa ridzi yg ikut olimpiade matematika sangat senang dan ia mengatakan bahwa ikut osn matematika tingkat provinsi takkan terlupakan dan akan kukenang kenagan-kenangan bersama teman teman disana {@rUf24}

Read More