soal imo(International Mathematical Olympiad) 2007

Hari Pertama
25 Juli 2007
Versi Bahasa Indonesia
Soal 1. Diberikan bilangan-bilangan real a1, a2, . . . , an. Untuk setiap i (1 i n)
definisikan
di = maks{ aj | 1 j i} − min{ aj | i j n}
dan
d = maks{ di | 1 i n}.
(a) Buktikan bahwa, untuk sebarang bilangan-bilangan real x1 x2 · · · xn,
maks{ |xi − ai| | 1 i n}
d
2
. ( )
(b) Tunjukkan bahwa terdapat bilangan-bilangan real x1 x2 · · · xn sehingga
kesamaan berlaku pada ( ).
Soal 2. Diberikan lima titik A,B,C,D, dan E sehingga ABCD suatu jajaran genjang
dan BCED suatu segiempat talibusur. Misalkan ` suatu garis yang melalui A, memotong
bagian dalam segmen DC di F dan memotong garis BC di G. Jika EF = EG = EC,
buktikan bahwa ` adalah garis bagi sudut DAB.
Soal 3. Pada suatu kompetisi matematika, sejumlah peserta berkawan. Perkawanan
selalu timbal-balik (dua arah). Sembarang kelompok peserta disebut klik jika setiap dua
orang di antara mereka berkawan. (Khususnya, setiap kelompok beranggotakan kurang
dari dua peserta adalah klik). Banyaknya anggota klik disebut ukuran klik.
Diketahui bahwa, pada kompetisi ini, ukuran terbesar klik adalah bilangan genap.
Buktikan bahwa semua peserta dapat ditempatkan dalam dua ruangan sehingga ukuran
terbesar klik yang ada di salah satu ruangan sama dengan ukuran terbesar klik yang ada
di ruangan lainnya.
Waktu tersedia: 4 jam 30 menit
Setiap soal bernilai 7 angka
Hari Kedua
26 Juli 2007
Versi Bahasa Indonesia
Soal 4. Pada segitiga ABC, garis bagi sudut BCA memotong lingkaran luar sekali lagi
di R, median BC di P, dan median AC di Q. Titik tengah BC adalah K dan titik
tengah AC adalah L. Buktikan bahwa kedua segitiga RPK dan RQL sama luasnya.
Soal 5. Misalkan a dan b bilangan-bilangan asli. Buktikan bahwa jika 4ab−1 membagi
(4a2 − 1)2, maka a = b.
Soal 6. Misalkan n suatu bilangan asli. Pandang
S = { (x, y, z) | x, y, z 2 {0, 1, . . . , n}, x + y + z > 0}
sebagai himpunan (n + 1)3 − 1 titik di ruang dimensi-tiga. Tentukan banyak minimal
bidang yang gabungannya memuat S, tetapi tidak memuat (0,0,0).
Waktu tersedia: 4 jam 30 menit
Setiap soal bernilai 7 angka