soal imo(International Mathematical Olympiad) 2007

Hari Pertama
25 Juli 2007
Versi Bahasa Indonesia
Soal 1. Diberikan bilangan-bilangan real a1, a2, . . . , an. Untuk setiap i (1 i n)
definisikan
di = maks{ aj | 1 j i} − min{ aj | i j n}
dan
d = maks{ di | 1 i n}.
(a) Buktikan bahwa, untuk sebarang bilangan-bilangan real x1 x2 · · · xn,
maks{ |xi − ai| | 1 i n}
d
2
. ( )
(b) Tunjukkan bahwa terdapat bilangan-bilangan real x1 x2 · · · xn sehingga
kesamaan berlaku pada ( ).
Soal 2. Diberikan lima titik A,B,C,D, dan E sehingga ABCD suatu jajaran genjang
dan BCED suatu segiempat talibusur. Misalkan ` suatu garis yang melalui A, memotong
bagian dalam segmen DC di F dan memotong garis BC di G. Jika EF = EG = EC,
buktikan bahwa ` adalah garis bagi sudut DAB.
Soal 3. Pada suatu kompetisi matematika, sejumlah peserta berkawan. Perkawanan
selalu timbal-balik (dua arah). Sembarang kelompok peserta disebut klik jika setiap dua
orang di antara mereka berkawan. (Khususnya, setiap kelompok beranggotakan kurang
dari dua peserta adalah klik). Banyaknya anggota klik disebut ukuran klik.
Diketahui bahwa, pada kompetisi ini, ukuran terbesar klik adalah bilangan genap.
Buktikan bahwa semua peserta dapat ditempatkan dalam dua ruangan sehingga ukuran
terbesar klik yang ada di salah satu ruangan sama dengan ukuran terbesar klik yang ada
di ruangan lainnya.
Waktu tersedia: 4 jam 30 menit
Setiap soal bernilai 7 angka
Hari Kedua
26 Juli 2007
Versi Bahasa Indonesia
Soal 4. Pada segitiga ABC, garis bagi sudut BCA memotong lingkaran luar sekali lagi
di R, median BC di P, dan median AC di Q. Titik tengah BC adalah K dan titik
tengah AC adalah L. Buktikan bahwa kedua segitiga RPK dan RQL sama luasnya.
Soal 5. Misalkan a dan b bilangan-bilangan asli. Buktikan bahwa jika 4ab−1 membagi
(4a2 − 1)2, maka a = b.
Soal 6. Misalkan n suatu bilangan asli. Pandang
S = { (x, y, z) | x, y, z 2 {0, 1, . . . , n}, x + y + z > 0}
sebagai himpunan (n + 1)3 − 1 titik di ruang dimensi-tiga. Tentukan banyak minimal
bidang yang gabungannya memuat S, tetapi tidak memuat (0,0,0).
Waktu tersedia: 4 jam 30 menit
Setiap soal bernilai 7 angka

Read More

MENGUADRATKAN BILANGAN DUA ANGKA CARA DAHSYAT MENGUADRATKAN BILANGAN

            Pada saat menghadapi ujian sekolah, Ujian Nasional,  maupun Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri para siswa pasti berhadapan dengan perhitungan-perhitungan matematika. Kita semua tahu bahwa yang namanya ujian selalu dibatasi dengan waktu yang sangat ketat. Oleh karena itu, kita perlu mencari terobosan baru, cara-cara kreatif dalam perhitungan matematika sehingga kita dapat menyelesaikannya dengan mudah dan dalam tempo yang sesingkat-singkatnya. Cara kreatif seperti  inilah yang disebut sebagai KONSEP THE KING di Ganesha Operation.

            Minggu ini, Ganesha Operation memperkenalkan kepada para siswa KONSEP THE KING untuk mendapatkan hasil kuadrat dari bilangan dua angka (puluhan) khususnya yang mengandung angka 5. Kami yakin cara kreatif ini pasti sangat membantu siswa untuk menemukan hasil kuadrat dari sebuah bilangan dengan mudah dan dalam waktu yang sangat singkat.

A.    Bilangan dua angka yang diakhiri angka 5.

Misalkan kita mau menghitung hasil kuadrat dari 65, langkah-langkahnya adalah sbb:

1. Kuadratkan angka ke-2 dari bilangan tersebut, yaitu 5² = 25. Ini merupakan dua angka terakhir dari hasil kuadratnya …25. (Bilangan dua angka yang diakhiri angka 5, hasil kuadratnya selalu diakhiri angka 25)
2. Untuk menemukan angka di depan 25, kalikan angka pertama dari bilangan yang dikuadratkan (yaitu 6)  dengan angka berikutnya (1 angka di atas 6) yaitu 7, sbb: 6 x 7 = 42. Letakkan angka ini di depan 25, maka hasilnya adalah 4225. Mudah kan !

Sebagai latihan, coba cari hasil kuadrat dari 15 !

1. Sesuai dengan langkah pertama di atas maka hasil kuadratnya selalu diakhiri angka …25
2. Untuk menemukan angka di depan 25, kalikan angka pertama (yaitu 1) dengan angka berikutnya setelah 1(yaitu 2) sbb: 1 x 2 = 2. Maka hasilnya adalah 225. Hebat !

Dengan cara yang sama hitunglah hasil kuadrat dari: 25; 35; 45; 55; 75; 85; dan 95 !

B.     Bilangan dua angka yang diawali dengan angka 5.

Misalkan kita mau menghitung hasil kuadrat dari 56, langkah-langkahnya adalah sbb:

1. Kuadratkan angka ke-2 dari bilangan tersebut, yaitu 6 kuadrat = 36. Ini merupakan dua angka terakhir dari hasil kuadratnya …36.
2. Untuk menemukan angka di depannya, kuadratkan angka pertama lalu jumlahkan dengan angka kedua sbb: 5² + 6 = 25 + 6 = 31. Maka hasilnya adalah 3136.

Note: Jika angka kedua dari bilangan yang dikuadratkan kecil (misalnya 1; 2; atau 3) sehingga hasil kuadratnya berupa satuan (bukan  puluhan)  maka dua angka terakhir hasil kuadrat nya diberi angka nol di depannya, misal: 1 ditulis 01.

Misalkan kita mau menghitung hasil kuadrat dari 51, langkah-langkahnya adalah sbb:

1. Kuadratkan angka ke-2 dari bilangan tersebut, yaitu 1² = 1, maka ditulis 01. Ini merupakan dua angka terakhir dari hasil kuadratnya …01.
2. Untuk menemukan angka di depannya, kuadratkan angka pertama lalu jumlahkan dengan angka kedua sbb: 5² + 1 = 25 + 1 = 26. Maka hasilnya adalah 2601.

Dengan cara yang sama hitunglah hasil kuadrat dari: 52; 53; 54; 55; 57; 58; dan 59 !

Read More